18.18-教學音頻-知識點——數學建模(P18)

我們是針對一些實際問題來建立一種函數關系，也是一種簡單的數學模型。那這個例子是比較基礎的例子，但是我們通過這樣一些例子來體會一下處理這類問題的過程。我們在講一個函數Y等于FX，首先它的兩要素就是對應法則和地域。那么具體在建立函數關系的時候呢，就要找到它的對應法則，找到他的定義。那我們在前面學習地域的時候，我們知道是函數有益的所有點的集合。

那在實際問題當中，我們研究地域的時候，還有還要考慮它所處的環境。所以我們往往又把抽象的問題就直接跟你一個函數表達式的問題呢，稱為是自然定義。那針對具體問題呢，就是還有一個實際的領域，比如說如果自變量表示價格的話，那這個價格不可能為負，所以價格自變量大于等于零就是會體現出來。那我們來看例一，在一條直線公路的一側有AB兩村，其位置告訴我們了。公共汽車公司欲在公路上建立汽車站，大M AB兩村各修一條直線大道通往汽車站。來看一下圖形，在這個圖形當中告訴我們CM的距離為X，是把AB兩村通往M的大道總長。

Y表示為X的函數CM。我們知道了這個距離AB兩個村通往大M的距離，A村在這里，B村在這里，那么那即是AM加上BM。那AM我們放在ACM這個小直角三角行李，BM放到BDM這個直角三角行李，我們可以把距離AMBM給它求出來。那我們也就求出了這兩個距離的。和同學來看一下解答，根據提議和圖示知道，在直角三角形ACM中，AM等于根號下X方加四。在直角三角形BDM中，BM等于根號下五減X方加九，那AB兩村到M點的距離和Y就等于兩個相加。根號下X方加四，加上根號下五減X方加九，那同學可以得到了這樣一個關系是注意自變量和音變量。那么我們在這個地方，我們可以進一步來分析這個函數的地域。我們知道，CM就是X，就是C點到M點的距離。

DM五減X CD之間的總長是五，也就是M是建在CD之間的這樣一個公共汽車站，那么C到M的距離最小是零，最大是五，對吧？就這樣一個范圍。所以此函數的低域為必須兼零到五。那么我們在分析這個地域的時候，就要看它所處的環境。實際上，如果你只看這個函數表達式的話，那X是不可以任意的去制。X應該是負無窮大到正無窮大都成立的。但是在這個地方，根據他所處的背景來研究地域，這是我們在實際問題構建函數關系的時候要格外注意的一點。再來看例二，如圖所示，以墻墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，并用平行于寬的籬笆給它隔開。已經知道籬笆的總長為60米，把場地面積S表示為場地寬的函數，并指出函數的地域。

所以這是告訴我們怎么給它圍起來的。那么也告訴你了這個籬笆的總長，那么我要把場地面積給它描述出來。我們來看一下長在這里那么寬位置，把場地寬是設為X了啊。我們來分析一下寬為X，我們知道它的總長有多少，那么我們也知道中間還用籬笆給它隔開?；h笆總長是60，所以實際上是減去了三個寬，60-3X就是我們這個長方形的寬為X，長為60-3X，那長和寬都有了面積S是不就出來了？S等于X倍的60-3X給它運算出來-3X方加60X。當然，這些問題我們有些同學在中學就能夠解決，我們仍然是重心讓于體會這樣一種構建的過程和構建當中要注意的問題。它總長就這么多嗎？而在這里又有三段長度是一樣長的，兩側的和中間隔開的，所以三X應該是小于60的X就小于20。所以地域為X大于零，小于20，它也不可能等于零或者等于20。

那如果這樣的話，那么它就不足以圍出一塊面積來。所以這地域的確認仍然是我們根據具體的背景給它分析出來的。這是例二，第三，第三是關于庫存問題，也是在這一節我們在講例題當中的一個難點問題，當然我們在后續的學習當中也用到了這個函數。我們一起來看一下，某工廠每年需要某種原料A噸，逆分若干批購進，每批進貨費用為B人設該廠使用這種原料是均勻的。也即平均庫存量為批量的一半。每噸原料的庫存費用每年為C元，是求出一年中庫存費用與進貨費用之和與進貨批量的函數關系。其實這個問題是非常聯系實際的，同學知道現在有很多物流公司，那么也就是說，我們在廠家生產出產品之后，在我銷售出去之前，他要有一批運過來，放到倉庫里面等待售出。那么我到底該運多少呢？怎么樣的運法是最經濟最合理的？等我們把微分學學完之后，我們會為大家介紹最佳問題，即是最佳的進貨批量，就是說分多少次進啊，或者每次進多少呢？而實際上在這個地方呢，我們這個題目是涉及到這樣一種庫存模型，符合這種庫存模型的這個問題呢，它都有這樣一個結論，就是平均庫存量為批量的一半。什么模型呢？就是分批進貨，均勻出貨。

所以假如說他每批進貨是這么多的話，那么假設它的均勻出貨，每次這么長時間，這個費這個貨物就賣完了，然后再進一批，這么長時間又賣完了，再進一批這么長時間又賣完了。大家知道它這個庫存呢是總在變化的，那均勻出貨它的變化特征就是這樣子，我們給它畫一條線，幫助我們來輔助研究。這個是一個時間軸，等他賣完之后怎么樣呢？再進一批貨，再進行批貨，然后又是均勻出貨。等他賣完之后再進一批貨再進行出貨。那么類似的這樣一個過程，同學看這個模型，再重復一遍是分批進貨，均勻出貨，那我們也知道它的庫存總在變化，但是呢，我們知道它的平均庫存為多少呢？二分之Q，二分之Q。所以這一年它的庫存費用為多少呢？就相當于平均每天有二分之Q的這樣一個數量放在倉庫里。那么我們二分之Q乘上C，是不就是全年的庫存費用？這個知識希望同學能夠掌握。即使題目當中沒有這句話，只要你看到它是屬于分批進貨，均勻出貨，那么你就應該知道這個結論，平均庫存量為批量的一半。這樣我們來看一下它的這個費用函數，假設進貨批量為X噸，也就是說每次進貨X噸，那一共是全年需要A對，所以一共要進貨多少次呢？是不就是A除上X這么多次??？而每次進貨費用為B元，所以一年的進貨費用同學就可以把它寫出來了。

我們已經分析出了進貨量總數有了，那么進貨批數也就可以給它寫出來。A比上X，再給它乘上B，就是全年的進貨費用。全年的庫存費用。我們也分析了二分之Q乘上C，因為它說庫存費用是每噸每年為C元，所以我們把庫存費用給它寫出來，就是C*2分之X，所以這兩個費用的和就有了X分支AB+2分之C乘上X。當然呢，同學在這里可能會有一些想法，我們通過學生反饋上來的。有些同學說啊，當我這個X設定出來的時候，那么AB上X這個批次是否是整數呢？那不是整數，那我怎么記呢？那么我們這個把它理解為是一種理想化的模型我們在我們這本教材上大家這樣來處理如果他出這樣的題目往往我們算出來的這個批次正好是個整數。這種情形，下面我們來看一下它的地域，因為每年最多是怎么樣的，每年是不需要的是A A噸，所以每次進貨批量不可能超越A。最大的情況就是一年進貨一次，把這一年的需要全都來了，是吧？所以這個地域為左開右閉區間，也就是X大于零，小于等A。關于這個問題希望同學能夠掌握，那么同時大家在做作業的時候還要注意這句話，他有時候告訴你是每噸產品每年的庫存費。

他有時候又告訴你是每個季度的庫存費，或者每月的庫存費，或者是每天的庫存費。我們要看清楚這一個，再來把相應的表達式給他寫出來。關于庫存問題啊，對我們有些同學來說是初次接觸，所以我們詳細講解這個分析過程，也希望同學能夠掌握例四，某人從美國到加拿大去度假，已知把美元兌換成加拿大元時，面幣數值增加12%，而把加拿大元兌換成美元時，地面數值減少12%。請證明，經過這樣一來一回的對話后，他反倒是虧損了一些錢。如果是不虧損，我們就可以去做這個操作了，來回顛倒，然后就不斷的升值啊。為什么是虧損？我們來給他計算一下。假設F一X為將X美元兌換成的加拿大元數，F二X為將X加拿大元兌換成的美元數。我們來看FEX，它是等于，因為它是增加12%，所以算出來是1.12X F二X呢？它是減少12%，那么算出來是0.88X。那這樣兩個操作，先把美元兌換成加拿大元，再把加拿大元兌換成美元。

那么用到我們的知識就是符合函數Y等于F二U U等于F一X這樣兩個過程。那這樣的話，同學運算一下，我們套用SEX得到1.12X，再套用F二X得到0.88*1.12X。算出來是0.9856X確實是減小了，并且呢，這個減小的量我們也知道了，所以在這個地方我們可以得出結論來。為什么會造成這樣呢？我們說FEXF二X不是互為法函數的兩個函數，如果互為反函數呢，那么它就還原回去了。所以他們經過一來一回的兌換后呢，X美元變成了0.9856美元，發生了虧損。那這個虧損我們可以算一下，1000美元經過這樣的來回兌換將虧損14.4美元。所以當然生活當中也沒有這樣去進行操作的，因為這是虧本的一個行為。以上呢，我們講了四個例子，那么這是一種簡單的數學在實際問題當中的應用，那我們強調一點，當我們建立函數關系的時候，交代清楚自變量，音變量它所表示的內容以及得出正確的表達式的同時。

我們還要注意根據他所處的環境來分析出自變量X的取值范圍。那這個地域的研究呢，就要考慮到實際背景，在結合函數表達式來得出來。那么同學在研究這類問題的時候要格外注意這一點，